Universidade Federal de Goiás

Escola de Engenharia Elétrica 

Nome da Disciplina: Teoria de Telecomunicações Código: 13.05.036

Professor: Dr. Rodrigo Pinto Lemos

 Aula 3

Revisão de Série e Transformada de Fourier

 Série de Fourier

A expansão em série de Fourier de uma onda quadrada é formada pela soma de harmônicas ímpares. Podemos mostrar isto graficamente utilizando o software Matlab:

t = 0:.1:10;

y = sin(t);

plot(t,y), pause;

y = sin(t) + sin(3*t)/3;

plot(t,y), pause;

y = sin(t) + sin(3*t)/3 + sin(5*t)/5 + sin(7*t)/7 + sin(9*t)/9;

plot(t,y), pause;

t = 0:.02:3.14;

y = zeros(10,max(size(t)));

x = zeros(size(t));

for k=1:2:19

x = x + sin(k*t)/k;

y((k+1)/2,:) = x;

end

 

plot(t,y(1:2:9,:)'), title('A construção de uma onda quadrada: o efeito de Gibbs'), pause

mesh(1:2:19,t,y')

view(60,35)

xlabel('no. harmônica')

ylabel('tempo')

axis ij

Um sinal contínuo no tempo representado por uma função f(t) pode ser expandido em série de Fourier através de:

onde:

são os coeficientes que multiplicam cada termo da expansão e k é o no. da harmônica.

No exemplo anterior, utilizamos a série de Fourier em senos, onde a única mudança nas expressões acima é a troca da exponencial complexa pela função seno. Podemos calcular os coeficientes das harmônicas para o exemplo anterior e plotá-los utilizando o Matlab:

z = (abs(fft([y(10,:),-y(10,:)])));

stem(0:19,z(1:20)/120)

A seqüência formada pelo ordenamento dos coeficientes conforme o no. da harmônica correspondente dá origem ao espectro discreto de freqüências acima, onde cada o k-ésimo número corresponde à harmônica de freqüência kw0.

Transformada de Fourier

Entretanto, para construir f(t), podemos usar sinais senoidais de freqüência w múltiplo não-inteiro de w0. Assim, verificaremos os valores do gráfico acima para pontos intermediários aos apresentados, ou seja, continuamente no eixo das freqüências, obtendo um conjunto de coeficientes descrito agora por uma função F(jw). Esta análise leva à transformada de Fourier, que é um caso particular da transformada de Laplace:

onde

A inversa da transformada de Fourier é dada por:

A função F(jw) constitui o espectro de freqüências de f(t) e pode ser separada em:

 

Obs.: Para exemplos e tabela de pares transformados ver material na Xerox ou com a Michele.

Algumas Propriedades da Transformada de Fourier

1. Simetria

Assim, como a transformada de Fourier da janela retangular temporal é uma função sinc no domínio da freqüência, a transformada de Fourier da função sinc temporal é uma janela retangular no domínio da freqüência.

2. Mudança de Escala

Assim, a compressão da escala temporal implica no espalhamento do conteúdo espectral ao longo do eixo w no domínio da freqüência e vice-versa. Isto ocorre porque comprimindo no tempo provoca-se transições mais rápidas (bruscas) na forma de onda resultante, exigindo freqüências mais altas no espectro que representa o sinal.

3. Convolução

Como o pulso triangular é o resultado da convolução de dois pulsos retangulares, sua transformada de Fourier será uma função sinc ao quadrado, resultado do produto de duas funções sinc.

Obs.: devido à simetria a transformada de Fourier do produto de duas funções temporais é dada pela convolução dos respectivos espectros:

4. Deslocamento em Freqüência

Identidade de Parseval

Relacionada à conservação de energia - a energia contida na forma de onda temporal é a mesma encontrada no respectivo espectro de freqüências.

Teorema da Amostragem

Amostragem - é o processo básico para a transmissão de um sinal na forma digital, no qual uma forma de onda ou função temporal contínua é discretizada no tempo de forma a permitir posteriormente sua perfeita reconstrução.

A condição para que isso possa seja possível é a de que a função temporal seja limitada em freqüência, ou limitada em faixa, isto é, sua transformada de Fourier é zero exceto em um intervalo finito do espectro de freqüências.

Teorema de Nyquist: Para amostrar um sinal temporal contínuo limitado em freqüência a B Hertz (ou W = 2p B rad/s) e, posteriormente, reconstruí-lo perfeitamente, a mínima freqüência de amostragem necessária é de 2B Hertz (ou 2W rad/s), ou seja, o dobro da largura de banda do sinal.

 

Sinal senoidal de freqüência f = 1 Hz, ou seja, com período 2p segundos, amostrado à taxa de 1 Hz, ou seja, igualmente a cada 2p segundos. É fácil verificar que o sinal original não pode ser reconstruído perfeitamente a partir destas amostras, pois a interpolação das mesmas não produziria oscilação.

Sinal senoidal de freqüência f = 1 Hz, ou seja, com período 2p segundos, amostrado à taxa de 2 Hz, ou seja, a cada p segundos. É fácil verificar que, a partir da interpolação destas amostras, o sinal original pode ser reconstruído perfeitamente, produzindo oscilação. Portanto, a taxa de amostragem igual ao dobro da máxima freqüência do sinal

A necessidade de a taxa de amostragem mínima ser o dobro da largura de faixa do sinal também pode ser justificada a partir da transformada de Fourier. Seja fa(t) a forma amostrada da função f(t):

onde T é o período de amostragem.

Logo a forma amostrada fa(t) corresponde à multiplicação de f(t) por um trem de impulsos temporal. Fazendo a transformada de Fourier da expressão acima, obtemos:

onde é a freqüência angular de amostragem. Logo, Fa(jw ) é uma repetição de F(jw ) a cada w 0 rad/s no espectro de freqüências.

Como os espectros se repetem, se w 0 for maior do que w m haverá sobreposição dos espectros e o somatório dos mesmos resultará em distorções no conteúdo espectral e, não poderemos mais separar o espectro de F(jw ) a partir do espectro de Fa(jw ).